대수적 수론에서 뉴턴 다각형(Newton多角形, 영어: Newton polynomial)은 국소체 계수의 다항식의 성질을 나타내는 다각형이며, 각 계수의 값매김으로 정의되는 점들의 볼록 껍질이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 완비 이산 값매김환
.
의 분수체를
로 표기하자.
- 다항식
![{\displaystyle p=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cba8843d5ad579e39245cbc27731cbcd2f1d19f)
위의 이산 값매김을
![{\displaystyle \nu \colon K\setminus \{0\}\to \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5fc7b66e69a96a101d9414bd72cc5f396c5a05)
로 표기하자. 편의상
![{\displaystyle \nu (0)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b02fda700317f84e5ab26a5805f1fc5d5ca09c)
로 놓자.
그렇다면, 확장된 실수 평면 속의 다음과 같은 점들을 생각하자.
![{\displaystyle \{(i,\nu (a_{i}))\colon i\in \mathbb {Z} \}\subsetneq (\mathbb {Z} \sqcup \{\infty \})^{2}\subsetneq (-\infty ,\infty ]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724dac91be514010ff4f08666e460e60b5d649a1)
이 점들을 포함하는 볼록 껍질을
의 뉴턴 다각형이라고 한다.
다항식
및 대수적 폐포
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이산 값매김을
에 다음과 같이 확장할 수 있다.
![{\displaystyle {\bar {\nu }}\colon K^{\times }\to \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e090cede9ca032c2810ff0d0c3dd30fd3eb53b4)
의 뉴턴 다각형의 변의 수가
이며, 각 변의 기울기가
![{\displaystyle (\mu _{1},\dotsc ,\mu _{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb203a17fc2f6714dc9d91e667ac1276b0d7529)
이며, 각 변의 x축에 사영하였을 때의 길이가
![{\displaystyle (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2f210ad7e2363728522f6eb9616a0a8ea84d1d)
라고 하자. 그렇다면,
의
에서의 근
![{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{\deg p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184e96433b3a33f206b0526c89df86ea4fb1019a)
![{\displaystyle p(\alpha _{i})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ec28eafa52aff617aa843155cb6a1a706c487b)
가운데, 값매김이
인 것의 수는
개이다.
5진 정수의 이산 값매김환
계수의 6차 다항식
![{\displaystyle 1+5x+5^{-1}x^{2}+3x^{3}+5^{2}x^{5}+5^{2}x^{5}+5^{4}x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672dccf229c4f38c347f4ad5e51f71dea19dab45)
을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.
![{\displaystyle \{(0,0),(1,1),(2,-1),(3,0),(4,\infty ),(5,2),(6,4),(7,\infty ),(8,\infty ),\dotsc \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4517cfcd562ba0bbae46d11900c3cde96ecc9a81)
따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어진다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/Newton-polygon.gif)
이 뉴턴 다각형은 세 개의 변으로 구성되며, 이들은 다음과 같다.
시작점 |
끝점 |
x축 사영 길이 |
기울기
|
(0,0) |
(2,−1) |
2 |
−½
|
(2,−1) |
(5,2) |
3 |
1
|
(5,2) |
(6,4) |
1 |
2
|
따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.
아이작 뉴턴이 하인리히 올덴부르크(독일어: Heinrich Oldenburg, 영어: Henry Oldenburg 헨리 올든버그[*])에게 1676년에 보낸 편지에서 최초로 사용하였다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]